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來源：初中數學競賽 2005-09-09 16:22:52
1．求函數值和函數表達式
對于函數y=f(x)，若任取x=a(a為一常數)，則可求出所對應的y值f(a)，此時y的值就稱為當x=a時的函數值．我們經常會遇到求函數值與確定函數表達式的問題．
例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)．
解法1 令y=x-1，則x=y+1，代入原式有
f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44
＝19y2＋93y＋30，
所以 f(x)=19x2+93x＋30．
解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30．
可．
例3 已知函數f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b為常數．若f(5)=7，求f(-5)．
解 由題設
f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5
=-(ax5-bx3＋x＋5)+10
=-f(x)+10，
所以
f(-5)=-f(5)＋10=3．
例4 函數f(x)的定義域是全體實數，并且對任意實數x，y，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)．
解 設f(0)=k，令y=0代入已知條件得
f(x)=f(x+0)=f(x?0)=f(0)=k，
即對任意實數x，恒有f(x)=k．所以
f(x)=f(19)=99，
所以f(1999)=99．
2．建立函數關系式
例5 直線l1過點A(0，2)，B(2，0)，直線l2：y=mx＋b過點C(1，0)，且把△AOB分成兩部分，其中靠近原點的那部分是一個三角形，如圖3－1．設此三角形的面積為S，求S關于m的函數解析式，并畫出圖像．
解 因為l2過點C(1，0)，所以m＋b=0，即b=-m．
設l2與y軸交于點D，則點D的坐標為(0，-m)，且0＜-m≤2(這是因為點D在線段OA上，且不能與O點重合)，即-2≤m＜0．
故S的函數解析式為
例6 已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12．從它的一個頂點作一條射線，將矩形分成一個三角形和一個梯形，且這條射線與矩形一邊
x，試寫出梯形面積S關于x的函數關系式．
解 設矩形ABCD的長BC大于寬AB的2倍．由于周長為12，故長與寬滿足4＜BC＜6，0＜AB＜2．
由題意，有如下兩種情形：
CE1＝x，BE1＝BC-x，AB＝CD＝2(BC-x)，所以
(2AB＋x)+AB=6，
所以
3．含絕對值的函數
一次函數的圖像是一條直線，含有絕對值符號的函數所對應的圖像是由若干條線段和射線所組成的折線；二次函數的圖像是拋物線，而y=|ax2＋bx＋c|的圖像是將y=ax2+bx+c在x軸下方的圖像按x軸為對稱軸翻到x軸的上方．對于一些其他的含絕對值符號的函數和方程的圖像，需要按區間分段討論．
例7 作函數y=|3-x|+|x-1|的圖像．
解 當x＜1時，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；
當1≤x＜3時，y=(3-x)＋(x-1)=2；當x≥3時，y=(x-3)＋(x-1)=2x-4．所以
它的圖像如圖3－3所示．
例8 作函數y=|x2-5x+6|的圖像．
解 當x≤2或x≥3時，x2-5x+6≥0，于是y=x2-5x+6；當2＜x＜3時，x2-5x+6＜0，于是y=-(x2-5x+6)．所以
于是，得圖像如圖3－4所示．
例9 點(x，y)滿足方程
|x-1|+|y+2|=2，
求它的圖像所圍成區域的面積．
解 當x≥1，y≥-2時，x-1＋y＋2=2，即
y=-x+1．
當x≥1，x＜-2時，x-1-(y＋2)=2，即
y=x-5．
當x＜1，y≥-2時，-x+1+y＋2=2，即
y=x-1．
當x＜1，y＜-2時，-x＋1-(y＋2)=2，即
y=-x-3．
于是，所得圖像如圖3－5所示．
由此可知，|x-1|+|y+2|=2的圖像是一個對角線長為4，邊長為2
例10 m是什么實數時，方程x2-4|x|＋5=m有四個互不相等的實數根？
解法1 將原方程變形為
x2-4|x|＋4=m-1．
令y=x2-4|x|+4=m-1，則
它的圖像如圖3－6，而y=m-1是一條與x軸平行的直線．原方程有四個互不相等的實根，即直線應與曲線有四個不同的交點．由圖像可知，當0＜m-1＜4，即1＜m＜5時，直線與曲線有四個不同的交點，所以，當1＜m＜5時，方程x2-4|x|＋5=m有四個互不相等的實數根．
說明 本題是一個方程問題，我們利用圖形來研究，這是一種非常重要的思想方法――數形結合法．當然，本題不用圖像也是可以解的，下面給出解法，請讀者比較一下．
解法2 原方程變形為
(|x|-2)2＝m-1，
練習五
1．填空：
(1)已知f(x-1)=19x2＋55x-44，則f(x)=_______．
(2)對所有實數x，f(x2+1)=x4＋5x2＋3，那么對所有實數x，f(x2-1)=_______．
(3)設x與y2成反比例，y與z2成正比例．當x=24時，y=2；當y=18時，z=3，則z=1時，x=_______．
(4)已知y=2x2＋mx＋5的值恒為正，且m為實數，則m的范圍是_______．
函數，且當x=2，x=3時，y的值都為19，則y的解析式為y=_______．
(6)如果y＋m與x＋n成正比例，且當x=1時，y=2；當x=-1時，y=1，則y與x間的函數關系式是y=_______．
2．在平面直角坐標系里，點A的坐標是(4，0)，點P是第一象限內一次函數y=-x＋6的圖像上的點，原點是O，如果△OPA的面積為S，P點坐標為(x，y)，求S關于x的函數表達式．
3．平面直角坐標上有點P(-1，-2)和點Q(4，2)，取點R(1，m)，試問當m為何值時，PR＋RQ有最小值．
試求k的取值范圍．
5．設y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|，且2≤x≤8，試求y的最大值與最小值之和．
6．作y=2|x-3|，y=x-a的圖像，問a取什么值時，它們可以圍出一個平面區域，并求其面積．
7．m是什么實數時，方程|x2-4x+3|=m有三個互不相等的實數解．
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