數學是;思維的體操;，幾何更能訓練學生的邏輯思維能力。幾何證明題的思路廣，方法多，要求學生的思維要靈活，而學生拿到一個較復雜的證明題，總感到無從下手，不會分析。現舉例介紹解競賽題中幾種特殊的而又常用的證明方法。

一、分解法

即把一個圖形分解成幾個簡單的圖形或分成具有某種特殊關系的圖形，然后借助于分解后的圖形的性質來推導出所要證明的問題的一種方法。

例1. 如圖1，ABCD是任意四邊形，E、F將AB分成三等分，G、H將CD分成三等分。

求證：四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的三分之一。

分析：四邊形問題常分割成三角形問題來解決。于是考慮連結AC、AH、HF、FC，由題意和;等底等高的三角形面積相等;知：

所以

所以

又

所以

故

二、特殊化法

即先考察命題的某些特殊情形，從特例中探索一般規律，或從特例中得到啟發，從而解決一般問題的一種方法。

例2. 如圖2，設P為∠AOB的平分線上一定點，以OP為弦作一圓，分別交OA、OB于C、D。

求證：OC與OD的和為定值。

分析：學生往往找不到定值是什么，若將;弦OP;特殊化為;直徑OP;，則△OPC和△OPD是全等直角三角形，因而，OC=OD= ，于是判斷OC與OD的和為定值 。故過P作PE⊥OA，PF⊥OB，連PC、PD，可證△PCE≌△PDF，所以CE=DF，OE=OF。

所以

即OC+OD為定值。

三、擴充法

即把圖形擴充為另一個圖形，借助于擴充后圖形的性質來推導出所要證明的問題的一種方法。

例3. 如圖3，已知AD為△ABC的邊BC上的中線，O為AD一點，BO、CO與AC、AB分別交于E、F。

求證：EF∥BC

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分析：要證兩線平行，考慮到平行線的判定，而這里只有BD=DC，故考慮延長OD至G，使DG=OD，擴充得到平行四邊形BGCO，則 ，OF∥BG ，所以 ，故EF∥BC。

四、類比轉換法

即將所要論證的問題進行轉換并與其類似的問題對比，從而得到啟發，使問題得以解決的一種方法。

例4. 如圖4，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=108°，AH⊥BC于H，∠DAC= 。

求證：

分析：這類問題常轉換為： ，而在直角三角形ADH和AEH中， 和 分別為∠DAH的余弦和∠AEH的正弦，由題意可計算知∠DAH=∠AEH=18°，聯想到 ，該問題得證。

五、面積法

即利用面積定理，結合圖形中的面積關系，找到與問題相關的數量關系，使問題得到解決的一種方法。

例5. 如圖5，平行四邊形ABCD中，E在AD上，F在AB上，且DF=BE，DF與BE交于G。

求證：CG平分∠BGD。

分析：證明角平分線有兩種常用方法：這條射線分得的兩個角相等或這條射線上一點到角兩邊的距離相等。

連CE、CF，作高CH、CP，此題圖中有 ，而DF=BE，故高CP=CH，于是CG平分∠BGD。

六、代數法

即根據圖形的有關性質布列方程、不等式或函數式等，再利用相關代數知識來解題的一種方法。

例6. 如圖6，在凸四邊形ABCD中，AB=2，P是AB邊的中點，如果∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，求證：四邊形ABCD的面積的最小可能值是4。

分析：顯然，四邊形ABCD的面積的大小與AD、BC的大小有關。故令AD=x，BC=a，四邊形ABCD的面積=y，DF⊥CB于F，由題意：AP=PB=1，BF=AD=x，DF=AB=2， 。#p#分頁標題#e#

所以

所以

因x、y均為正實數，故由一元二次方程的根的判別式得

即四邊形ABCD的面積的最小可能值是4。

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