例1 分解因式

分析：若把兩個二次三項式

與

相乘，則將得到一個四次多項式，這時再分解因式就十分困難。但若把

或

)視為一個整體，即把

#p#分頁標題#e#

看成一個新變元t，原式就變形為關于t的二次多項式，問題就容易解決了。

解：設

，則

原式

再將

代入上式

原式

說明：由上例可以看出，對某些多項式的因式分解，如果前一項的兩個因式中只是常數項不同，則可將它們中的相同部分看成一個整體，用換元法可以降次，簡化解題過程。#p#分頁標題#e#

例2 解方程

解：設

，則原方程可變為

解得

，

當

時，解得

;當

#p#分頁標題#e#

時無解

經檢驗，

是原方程的解。

說明：本題是把

看成一個整體，恰當換元，才能化繁就簡。

例3 計算

解：設

，則

原式

#p#分頁標題#e#

說明：這是一類規律探索型問題，看似復雜嚇人，若掌握了整體換元思想，并不難解。

例4 已知

和

成正比例其中m、n是常數)

1)求證：y是x的一次函數;

2)如果

時，

;

時，

#p#分頁標題#e# ，求這個函數的解析式。

解：1)因

與

成正比例，故可設

整理可得

因

，

、

為常數，所以y是x的一次函數。#p#分頁標題#e#

2)由題意可得方程組

解得

，

.

故所求的函數解析式為

。

說明：在解方程組時，單獨解出k、n、m是不可能的，也是不必要的。故將

看成一個整體求解，從而求得函數解析式。

例5 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元;若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。現在計劃購甲、乙、丙各1件，共需多少元?

分析：要求的未知數是三個，而題設條件中只有兩個等量關系，企圖把甲、乙、丙各1件的錢數一一求出來是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的錢數看成一個整體，問題就可能解決。

解：設購甲、乙、丙各1件分別需x元、y元、z元。

依題意，得

#p#分頁標題#e#

，即

解關于

，

的二元一次方程組，可得

元)

答：購甲、乙、丙各1件共需1.05元。

說明：由于所感興趣的不是x、y、z的值，而是

這個整體的值，所以目標明確，直奔主題，收到了事半功倍的效果。

練習：

1. 分解因式

。#p#分頁標題#e#

2. 解方程

。

3. 設y與x的函數關系式為

k、a、b為常數)，且

時，y=19，x=3時，y=20。求此函數的解析式。

4. 已知

，求代數式

的值。

5. 一個四位數，其首位上的數字為1，若把首位移作末位，則新的四位數是原數的4倍還多1995，試求原來的四位數。

6. 甲、乙兩人相距

100km

，兩人同時出發，相向而行，甲每小時走

6km

，乙每小時走

4km

;甲帶的一只狗，同甲一起出發，每小時走

10km#p#分頁標題#e#

，碰到乙時它往甲方向走，碰到甲時它又往乙方向走，如此連續往返，到甲、乙兩人相遇時，這只狗一共走了多少千米?

7. 有大小兩種貨車，2輛大車和3輛小車一次可運貨15.5t，5輛大車和6輛小車一次可運貨35t，求3輛大車和5輛小車一次可運貨多少噸。

參考答案及提示：

1.

2.

，

。

3.

4. 5

5. 設原來的四位數去掉首位的后三位數為x，則原來的四位數可表示為

，新四位數可表示為

，由題意得#p#分頁標題#e#

，解得x=999，故原來的四位數為1999。

6. 由出發時起，直到甲、乙相遇為止，小狗以每小時

10km

的速度跑了

，因此小狗一共走了

的路。

7. 設1輛大車與1輛小車一次可以各運xt、yt，則有

，得

，即有

即3輛大車和5輛小車一次可運貨24.5t。 -

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