轉化思想和構造思想是數學中兩大基本的數學思想，本文就是想利用轉化思想最重要也是最有效的思想之一轉化為已能解決的問題來解競賽題。本文以競賽題目中經常會出現一些關于素數、帶余除法、完全平方數等問題為著手點，這些都是屬于初等數論范疇，而且這些知識幾乎在每年競賽題中都會出現，包括高中數學聯賽、冬令營、中國國家隊選拔考試，乃至在IMO考試中都是必考的內容，所以大家應該對此給予重視。對于數論的學習，不能操之過急，應該首先把數論的基礎知識和性質認真的系統的學習一遍，對競賽中出現相應的題目進行反思，這一點是很重要的。一同來體會一下最近幾年全國和各省市初中競賽題目中常見的問題，如何把問題轉化。

例1 設m是不能表示為三個互不相等的合數之和的最大整數，求m的值。

分析 不妨先求出三個互不相等的合數之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示為三個互不相等的合數之和的最大整數。

解：由于4+6+8=18，故下面就來證明m的最大整數是17。

當m>18時，若 ，則m>9

即任意大于18的整數均可以表示為三個互不相等的合數之和，故m=17

此題容易入手，逆向去考慮，采取極端性想法使問題得以解決。

例2 求滿足等式 的正整數x、y。

分析 此問題容易想到因式分解，再加之問題里有數2003，因為2003是質數，這也是一個信息。

解：觀察式子特點不難得出

故所求的正整數對x,y)=1，2003)，2003，1)

此問題考察的重點在于因式分解。

例3 如果對于不小于8的自然數n，當3n+1是一個完全平方數時，n+1都能表示成k個完全平方數的和，那么k的最小值是________。

分析 采取分析法，因為 是一個完全平方數，所以設 ，再去推導n和a的關系，使問題不斷得到解決。

解：由已知 是一個完全平方數，所以就設#p#分頁標題#e# ，顯然 不是3的倍數，于是 ，從而

即 ，所以k的最小值是3

此方法是解決數論問題的一個常用的，也是基本的一個方法。

例4 設 為完全平方數，且N不超過2392。求滿足上述條件的一切正整數對x,y)共有________對。

分析 此題與例3有相似之處，但是要難一些。首先用到了性質8，然后再結合不等式解決此問題。

解： ，且23為素數，N為不超過2392的完全平方數

所以共有1，19)，2，15)，3，11)，4，7)，5，3)以及1，88)，2，84)，;，22，4)

故滿足條件的x,y)共有5+22=27對

此問題用到了數論里常用的方法��不等式法。把一個整數問題轉化為不等式問題，就會求出上下)界，從而限定出所求數的范圍，同時又是整數，故而使問題得以解決。

例5 已知方程 的根都是整數，求整數n的值。

分析 已知方程的根是整數，所以先把根求出來 ，所以根號下的數就應該是完全平方數，故此問題得以解決。

解：由求根公式解得

因為方程的根都是整數

所以 是完全平方數

設 ，則有

#p#分頁標題#e#

所以，分別解得整數n的值為10，0，-18，-8

此題的難點在于知道 是完全平方數之后，如何分解它，實際上是在解一個不定方程問題。

例6 設四位數 是一個完全平方數，且 ，求這個四位數。

解：設

由于67是質數，故 與 中至少有一個是67的倍數

此問題值得注意的是在設未知數的時候，采取整體代換，即把 看成整體，從而使問題簡化。

例7 一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。

分析 此類型問題在考試中出現多次，它的方法基本上是設出之后做差 ，然后運用平方差公式分解，最后去解不定方程 。

解：設此自然數為x，依題意可得

但89為質數，它的正因子只能是1與89，于是

解之，得n=45。代入2)得 。故所求的自然數是1981。

此問題是比較典型的，兩個式子三個未知數，感覺沒有辦法解決，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些問題中經常把幾個式子做差或者做和，來發現其中的奧妙。

在解決數學問題時，要以不變知識)去應萬變問法)，不斷去探索，有時候可以用特值去驗證結論，這樣就會有一個大致的方向，再通過不斷的把問題轉化，從而解決數學問題。

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