一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值

例1 如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，求∠EAF的正切值。

圖1

解：連結(jié)EF，作FG⊥AE，垂足為G

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則BE=CE=CF=FD=1

由

在 中，由勾股定理，得

在△AEF中，

易證：△ABE≌△ADF，∴AF=AE=

在Rt△AFG中

評(píng)注：本例考查了勾股定理、全等三角形等知識(shí)，要求銳角三角函數(shù)值必須在直角三角形進(jìn)行，通過(guò)添加輔助線(xiàn)將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，為解決問(wèn)題創(chuàng)造了有利條件，使所求問(wèn)題化歸為利用三角形面積橋來(lái)解決。

例2 如圖2，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于P，若BP=2，CD=12，求cos∠CAD的值。

圖2

解：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD

∴點(diǎn)P是弦CD的中點(diǎn)

∴PD=PC=6

由相交弦定理，得

PA·PB=PD·PC=PD 2

在 中，由勾股定理，得

#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

易證：

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E

在 中，

評(píng)注：本例考查了圓中的相交弦定理、垂徑定理，還考查了勾股定理、全等三角形等知識(shí)，通過(guò)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用三角形面積橋的特殊條件，提高了解題效率與為解決某些問(wèn)題搭起了平臺(tái)作用。

二、利用三角形的面積橋求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

例3 如圖3，已知圓 與圓 外切于點(diǎn)C，AB是兩圓的外公切線(xiàn)，A、B是切點(diǎn)，點(diǎn)A在圓 上，點(diǎn)B在圓 上。若AC、BC是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△ABC的周長(zhǎng)為30，求點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離。

圖3

解：過(guò)點(diǎn)C作兩圓的公切線(xiàn)交AB于點(diǎn)P，則AP=PC=PB

，即

∴△ABC是直角三角形。

設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，根據(jù)題意及根與系數(shù)的關(guān)系，得

將①代入③，得 ④

根據(jù)勾股定理，得

⑤#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

將①、②、④代入⑤，得

，

經(jīng)整理，得

，解得

又

都能使原方程有實(shí)根。

當(dāng) 時(shí)代入④，得

，不合題意，舍去。

當(dāng) 時(shí)，代入④，得

∴當(dāng) 時(shí)，代入②，得

設(shè)點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為h

評(píng)注：本例由兩圓外切來(lái)判斷三角形的形狀，將方程中的根與系數(shù)的關(guān)系和判別式，以及勾股定理，配方法、方程等知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在一起，綜合性較強(qiáng)，所考查的知識(shí)點(diǎn)頗多，涉及面廣，拓寬了對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查;同時(shí)合理構(gòu)建方程組模型，利用方程的知識(shí)和三角形的面積橋是解決問(wèn)題的關(guān)鍵;利用整體求值法，避免了求邊長(zhǎng)，提高了解題速度，有利于培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)過(guò)的掌握的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問(wèn)題的能力，核心是應(yīng)用能力，本例形成了較好的考查知識(shí)鏈。

三、利用三角形的面積橋求三角形的內(nèi)切圓面積

例4 在△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，求△ABC的內(nèi)切圓面積。

解：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，設(shè)BD=x，CD=y，則

圖4

①

在 和#p#分頁(yè)標(biāo)題#e# 中，由勾股定理，得

②

解①，②，得

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)槿�角形的�?nèi)切圓圓心到三邊的距離相等。

的內(nèi)切圓面積為 面積單位)。

評(píng)注：本例充分利用方程知識(shí)和三角形的面積橋，使所求問(wèn)題無(wú)從下手，到;柳暗花明;，使所求問(wèn)題迎刃而解。

四、利用三角形的面積橋解決其他問(wèn)題

例5 在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，點(diǎn)P為BC邊上的任一點(diǎn)不與B、C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足，求3PE+4PF的值。

解：如圖5過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D

圖5

設(shè)

則 ①

在 和 中，由勾股定理，得

#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

即 ②

解①，②，得

連結(jié)AP，則

即

評(píng)注：本例是2019年全國(guó) 試題改編，在解題過(guò)程中，利用了方程思想，實(shí)現(xiàn)了幾何代數(shù)化，由方程知識(shí)和三角形的面積橋，使解題思路清晰，解題方法躍然紙上，簡(jiǎn)潔明快，所以三角形的面積橋?yàn)樘岣呓忸}質(zhì)量和技巧提供了便捷通道。

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