黛安娜和母親一起上街為她妹妹的生日聚會購買糖果和小禮品。黛安娜的母親專買小禮品，而黛安娜專買糖果。關于她買糖果的數量和所買小禮品的數量，以及她們所花的錢款，情況如下：

1)黛安娜身上只帶了十三枚硬幣，而且里面只有三種：1美分、5美分和25美分。她把它們全部用來買了糖果。

2)她為奧爾西婭買的糖果每塊2美分，她為布萊思買的糖果每塊3美分，她為卡麗買的糖果每塊6美分。

3)她為這三個女孩買的糖果塊數各不相同，而且都不止一塊。

4)有兩種糖果她所付的錢款相同。

5)她母親買了一些小禮品，每件小禮品的單價都一樣。母親總共花了4.80美元。

6)黛安娜所買糖果的塊數同她母親所買紀念品的件數相等。

7)黛安娜給她妹妹買的糖果塊數最多。

三個女孩中，誰是黛安娜的妹妹?

提示：根據1)、2)、5)、6)可列出五個方程。根據4)所列出的三個方程，只有一個是正確的。在這些方程中各個量的和與積是奇數還是偶數，應予考慮。)

答 案

設P=黛安娜所帶的1美分硬幣和枚數，

N=黛安娜所帶的5美分硬幣和枚數，

Q=黛安娜所帶的25美分硬幣和枚數，

T=黛安娜為買糖果所花的總錢數以美分為單位)，

a=為奧爾西婭所買的糖果的塊數，

b=為布萊思所買的糖果的塊數，

c=為卡麗所買的糖果的塊數，

d=母親所買的紀念品的單價以美分為單位)，

F=母親所買的紀念品的件數。

以上各數都是正整數。

根據1)：la)P+N+Q=13，

1b)P+5N+25Q=T.

根據2)：2)2a+3b+6c=T。

根據3)：3)a、b、c各不相同而且都大于1。

根據4)：4)或者2a=3b，或者2a=6c，或者3b=6c。

根據5)：5)F×d=480。

根據6)：6)a+b+C=F。

根據7)，問題可以重新表述為：

7)a、b、c中哪一個最大?

這里一共有六個方程和九個未知數，第四個方程是三個可能的方程中的一個。方程太多，無法僅用代數方法求解，因此除了各數都是正整數這一特點之外，必須再尋找其他特點。

知道：兩個奇數之和總是偶數，

兩個偶數之和總是偶數，

一個奇數與一個偶數之和總是奇數。

而且知道：兩個奇數之積總是奇數，

兩個偶數之積總是偶數，

一個奇數與一個偶數之積總是偶數。#p#分頁標題#e#

根據這些規律，在方程1a)中，或是P、N、Q三者都是奇

數，或是這三個數中只有一個是奇數。無論是這兩種情況中的哪一種，1b)中的T總是奇數。于是方程2)中的b是奇數。這樣，在方程4)中，2a不能等于3b，因為2a是偶數而3b是奇數。3b也不能等于6c，因為6c是偶數而3b是奇數。因此2a=6c。至此，已經知道c不是最大的數，因為a必定大于c。)兩邊除以2，得a=3c。代入方程6)，得b+4c=F。

由于b是奇數，所以在b+4c=F中，F是奇數。在方程5)中，480是兩個數的乘積，其中一個是奇數F)，另一個是偶數d)。在這個乘積中，F可能取的奇數值只有l、3、5或15。F等于1或3是不可能的，因為在b+4c=F中，b和c必須是正整數。根據3)b和c不能等于1)，F也不等于5。因此，F必定等于15。

于是b+4c=15，而C不能大于3或者小于1。根據3)，C不能等于1，也不能等于3否則b也等于3)。所以C必定等于2。從而b=7。根據前面得出的a=3c，所以a=6。因此b是最大的數。這樣，根據7)，布萊思是黛安娜的妹妹。

其他各值可以求解如下。因為F=15，所以根據5)，d=32。由于a=6，b=7，c=2，所以根據2)，T=45。從1b)減去

la)得出4N+240=32。兩邊除以4，得N+6Q=8。Q不能大于1否則N將是負數)，也不能小于1因為根據l)，黛安娜有25美分的硬幣)，因此Q=l。于是N=2。于是根據la)，P=10。

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