“圖形與變換”主要包括圖形的翻折(軸對稱) 、圖形的平移、圖形的旋轉三個部分。不同的變換下圖形與圖形之間具有不同的性質，而這些基本圖形和基本性質及其靈活應用對于合理的推理和成功解題起著至關重要的作用。這部分內容恰又是天津市 的熱點和難點。下面就以幾道“圖形與變換”中翻折的典型例題來說明這部分內容的特點和學習方法，以供大家參考。

南開中學 張常軍

例1.如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點A、D分別落在點A′、D′處，且A′D′經過點B，EF為折疊，當D′F⊥CD時，■的值為

A. ■

B.■

C.■

D. ■

分析：在翻折變換后得到全等圖形的基礎上，本題考查的是△FMC和△BD'M兩個基本圖形，其中△FMC為30°、60°、90°的基本圖形，三邊的比為1：■：2;△BD'M是30°、30°、120°的基本圖形，三邊的比為1：1：■。再利用FD=FD' 找到FC和FD的關系得知本題選A。

例2.如圖，在正方形紙片ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，沿過點B的直線折疊，使點C落在EF上，落點為N，折痕交CD邊于點M，BM與EF交于點P，再展開。則下列結論中：①CM=DM;②∠ABN=30°;③AB2=3CM2;④△PMN是等邊三角形。正確的有 A.1個 B.2個

C.3個 D.4個

分析：在翻折變換后得到全等圖形的基礎上，本題考查的是△BNC為等邊三角形的基本圖形，這樣分析②③④均為正確命題，故本題選C。

例3.已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A(11，0)、點B(0，6)、點P為BC邊上的動點(點P不與點B、C重合)，經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP。設BP=t。

(Ⅰ)如圖①，當∠BOP=30°時，求點P的坐標;

(Ⅱ)如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標(直接寫出結果即可)。

圖③

分析：本題第一問考查的是翻折之后的全等圖形和△BOP為30°、60°、90°的基本圖形，進而通過三邊的比例關系(也可理解為特殊角的三角函數值)，由OB=6得到點P的坐標為(2■，6)。第二問則深入考查了同學們對題目進行深入挖掘的能力，由矩形條件下兩次翻折的特點得到∠OPQ=90°,進而得到△BOP與△CPQ這組K字形相似的三角形，由相似三角形對應邊成比例得到第二問的結果為m=■t2-■t+6(0<11)。而第三問還在深入挖掘圖形隱含條件的基礎上考查了同學們的繪圖能力。如圖③，由此圖形得到△POC'為等腰三角形，發現C'A=BP=T，再由RT△AQC'中三邊的關系利用勾股定理找到T與M的另一組關系，進而解出P的坐標為(■，6)或(■，6);或者由△PMC'與△C'AQ這組K字的相似三角形找到T與M的另一組關系，解出P的坐標也可以。< P>#p#分頁標題#e#

圖形變換考查

這幾種能力

通過以上三個典型例題我們不難發現，要想順利解出變換類的題目，首先要對基本圖形的基本性質非常熟悉，在此基礎上利用不同變換下圖形與圖形的關系深入挖掘圖形性質，以相似、特殊角的三角函數值和勾股定理為媒介找到相應的數量關系方可迎刃而解。而這其中考查了幾個能力：圖形的基礎知識及其靈活運用，對方程的理解能力，較高的繪圖能力，動態點的感知能力。現在首先要熟悉基本圖形的基本性質，如我們剛剛提到的“30°、60°、90°的三角形性質”;“30°、30°、120°的三角形性質”;“45°、45°、90°的三角形性質”;“K字形的相似三角形”等。同時要對審題時的敏感詞提起重視，比如“直線”、“射線”、“線段”、“坐標軸上”等語句，語句不同，運動的分類情況也不同，進而導致解的個數不同。

另外一定的繪圖能力也是平時就應該培養的，要敢于根據變換的不同繪出應得的圖形。平時多體會，多練習，不要完全依靠老師，老師講我才聽的做法是不可取的。提示大家多讀幾遍題目，深入挖掘題目隱含的已知條件也是成功解題必不可少的能力。

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