例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內兩點，求證：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

　　（法1）證明：將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；（1）

　　在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）

　　在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

　　由（1）＋（2）＋（3）得：

　　AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

　　∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

　　（法2）如圖1-2，延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

　　AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）

　　GF＋FC＞GE＋CE（同上）（2）

　　DG＋GE＞DE（同上）（3）

　　由（1）＋（2）＋（3）得：

　　AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

　　∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

　　在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：

　　例如：如圖2-1：已知D為△ABC內的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。

　　分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內角的位置。

　　證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，

　　∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，

　　∴∠BDC＞∠BAC

　　證法二：連接AD，并延長交BC于F

　　∵∠BDF是△ABD的外角

　　∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

　　∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

　　即：∠BDC＞∠BAC。

　　注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。

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