一、定義和特點(diǎn)
1、一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左邊加一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax的平方+叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù);bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù);c叫做常數(shù)項(xiàng)。
二、方程起源
古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數(shù)學(xué)家就能解一元二次方程了。在大約西元前480年，中國(guó)人已經(jīng)使用配方法求得了二次方程的正根，但是并沒有提出通用的求解方法。西元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
7世紀(jì)印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數(shù)方程，它同時(shí)容許有正負(fù)數(shù)的根。
11世紀(jì)阿拉伯的花拉子密獨(dú)立地發(fā)展了一套公式以求方程的正數(shù)解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達(dá)著稱)在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。
據(jù)說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數(shù)學(xué)家之一。但這一點(diǎn)在他的時(shí)代存在著爭(zhēng)議。這個(gè)求解規(guī)則是(引自婆什迦羅第二)：
在方程的兩邊同時(shí)乘以二次項(xiàng)未知數(shù)的系數(shù)的四倍;
在方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)未知數(shù)的系數(shù)的平方;
在方程的兩邊同時(shí)開二次方。
三、性質(zhì)
方程的兩根與方程中各數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a(也稱韋達(dá)定理)
方程兩根為x1，x2時(shí)，方程為：x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根據(jù)韋達(dá)定理逆推而得)
b^2-4ac>0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，b^2-4ac=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，b^2-4ac<0無實(shí)數(shù)根。
四、一般解法
一元二次方程的一般解法有以下幾種：
配方法(可解部分一元二次方程)
公式法(在初中階段可解全部一元二次方程，前提：△≥0)
因式分解法(可解部分一元二次方程)
直接開平方法(可解全部一元二次方程)
五、小結(jié)及例題
一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法)，在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算判別式的值，以便判斷方程是否有解。
配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。(三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法)。
例：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭?選學(xué))
(1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;(2)x^2+2x-3=0;(3)4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
分析：
(1)首先應(yīng)觀察題目有無特點(diǎn)，不要盲目地先做乘法運(yùn)算。觀察后發(fā)現(xiàn)，方程左邊可用平方差
公式分解因式，化成兩個(gè)一次因式的乘積。
(2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
(3)把方程變形為 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后利用十字相乘法因式分解。
(1)解：4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1，x2=13
(2)解： x^2+2x-3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
(3)解：4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1=(m+2)/2，x2=(m+3)/2
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