實(shí) 數(shù)

 

　　有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)

 

　　1、有理數(shù)：任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。

 

　　2、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。

 

 

　　實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

 

　　一、科學(xué)記數(shù)法

 

　　1、定義：將一個(gè)數(shù)字表示成 a×10的n次冪的形式，其中1≤|a|<10，n表示整數(shù)，這種記數(shù)方法叫科學(xué)計(jì)數(shù)法。

 

　　2、快速科學(xué)記數(shù)的方法

 

　　（1）大于10的數(shù)的表示方法

 

　　對(duì)于10的指數(shù)大于0的情形，數(shù)出“除了第一位以外的數(shù)位”的個(gè)數(shù)，即代表0的個(gè)數(shù)。

 

　　如1800000000000，除最高位1外尚有12位，故科學(xué)記數(shù)法寫(xiě)作1.8×1012

 

　　（2）小于0的數(shù)的表示方法

 

　　10的指數(shù)小于0的情形，數(shù)出“非有效零的總數(shù)（第一個(gè)非零數(shù)字前的所有零的總數(shù)）”

 

　　如0.00934593，第一位非零數(shù)字（有效數(shù)字）9前面有3個(gè)零，科學(xué)記數(shù)法寫(xiě)作9.34593*10-3。即第一位非零數(shù)字前的0的個(gè)數(shù)為n，就為10-n

 

　　二、數(shù)軸

 

　　1、定義

 

　　在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線 叫做數(shù)軸，它滿(mǎn)足以下要求:(1)在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示0這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)(origin);(2)通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右(或上)為正方向，從原點(diǎn)向左(或下)為負(fù)方向;(3)選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1(向右1個(gè)單位長(zhǎng)度)，2(向右2個(gè)單位長(zhǎng)度)，3(向右3個(gè)單位長(zhǎng)度)，…;從原點(diǎn)向左，用類(lèi)似方法依次表示-1(向左1個(gè)單位長(zhǎng)度)，-2(向左2個(gè)單位長(zhǎng)度)，-3(向左3個(gè)單位長(zhǎng)度)…

 

　　在數(shù)軸上，除了數(shù)0要用原點(diǎn)表示外，要表示任何一個(gè)不為0的有理數(shù)，根據(jù)這個(gè)數(shù)的正負(fù)號(hào)確定它所在數(shù)軸的哪一邊(通常正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊)，再在相應(yīng)的方向上確定它與原點(diǎn)相距幾個(gè)單位長(zhǎng)度，然后畫(huà)上相應(yīng)的點(diǎn)。

 

　　2、幾何意義

 

　　數(shù)軸是一種特定幾何圖形;原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度稱(chēng)數(shù)軸的三要素，這三者缺一不可。

 

　　1)從原點(diǎn)出發(fā)，朝正方向的射線(正半軸)上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)正數(shù)，相反方向的射線(負(fù)半軸)上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)負(fù)數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)零。

 

　　2)在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，正方向的數(shù)總比另一邊的數(shù)大。

 

　　3)正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

 

　　注:單位長(zhǎng)度則是指取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，比如可以取2m作為單位長(zhǎng)度"1"，那么4m就表示2個(gè)單位長(zhǎng)度。長(zhǎng)度單位則是指米，厘米，毫米等表示長(zhǎng)度的單位。

 

　　二者不容混淆。

 

　　數(shù)軸上的點(diǎn)和數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。(任何一個(gè)數(shù)，包括虛數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。)

 

　　數(shù)軸的正方向一般向右，但也不排除向左的可能，而且越靠近正方向的數(shù)越大，相反離正方向越遠(yuǎn)的數(shù)越小。

 

　　畫(huà)數(shù)軸時(shí)一般要先畫(huà)橫線和正方向，其次畫(huà)零，再根據(jù)題意畫(huà)單位長(zhǎng)度。

 

　　相反數(shù)

 

　　只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中的一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

 

　　(a≠0)a的相反數(shù)是-a，0的相反數(shù)是0。

 

　　絕對(duì)值

 

　　在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離就叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

 

　　一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。0的絕對(duì)值是0。

 

　　公式|a|=?

 

　　若a大于0， 則a的絕對(duì)值還等于a;

 

　　若a等于0 ，則a的絕對(duì)值等于0 ;

 

　　若a小于0， 則a的絕對(duì)值等于-a。

 

　　性質(zhì):絕對(duì)值有非負(fù)性

 

　　倒數(shù)

 

　　1、倒數(shù)是指乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)。

 

　　2、倒數(shù)的特點(diǎn):一個(gè)正實(shí)數(shù)(1除外)加上它的倒數(shù) 一定大于2.一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)(-1除外)加上它的倒數(shù)一定小于-2.

 

　　實(shí)數(shù)的大小的比較

 

　　1、一切正數(shù)大于0，0大于一切負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

 

　　說(shuō)明:數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小。

 

　　2、關(guān)于二次根式的大小的比較

 

　　如a√b與c√d的比較，先將其轉(zhuǎn)化為√a2b與√c2d的形式，再比較a2b與c2d的大小，誰(shuí)大誰(shuí)的被開(kāi)方數(shù)也就大

 

　　實(shí)數(shù)的運(yùn)算

 

　　一、乘方

 

　　求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫乘方

 

　　如an=a×a×a×......×a（n個(gè)a相乘）

 

　　二、開(kāi)方

 

　　1、平方根與算術(shù)平方根

 

　　1.平方根

 

　　一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。比如 9 的平方根是3和-3。

 

　　零的平方根是0。負(fù)數(shù)沒(méi)有實(shí)數(shù)平方根。

 

　　2.算術(shù)平方根是指一個(gè)正數(shù)的正的平方根。比如 9 的算術(shù)平方根是3。規(guī)定,零的算術(shù)平方根是0。

 

　　算術(shù)平方根是定義在平方根基礎(chǔ)上，因此負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根。

 

　　2、立方根

 

　　如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫a的立方根，也稱(chēng)為三次方根，也就是說(shuō)，如果x3=a,那么x叫做a的立方根

 

　　其中，a叫做被開(kāi)方數(shù)，3叫做根指數(shù)。(a等于所有數(shù)，包括0)

 

　　中考必考題型

 

　　題型一 正負(fù)數(shù)的意義

 

　　1、陸地上最高處是珠穆朗瑪峰頂，高出海平面8844m，記作+8844m；陸地上最低處是地處亞洲西部的死海，低于海平面415m，記作（）

 

　　A +415m   B -415m   C 415m  D-8844m

 

　　分析：根據(jù)用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量的方法，高出海平面為正時(shí)，低于海平面記為負(fù)

 

　　答案：B

 

　　題型二  倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值

 

　　2、負(fù)實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是（）

 

　　A -a        B 1/a       C -1/a      D a

 

　　分析：互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的乘積等于1

 

　　答案：B

 

　　3、|-3|的相反數(shù)是（）

 

　　A   3    B   -3      C1/3    D -1/3

 

　　答案 B

 

　　題型三  實(shí)數(shù)的大小比較

 

　　4、下列各數(shù)中，最小的實(shí)數(shù)是（ ）

 

　　A  -√3      B   -1/2       C   -2        D  1/3

 

　　答案：C

 

　　題型四  科學(xué)記數(shù)法

 

　　5、據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，全國(guó)每年浪費(fèi)的食物若折合成糧食可養(yǎng)活約350000000人，將350000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

 

　　A  3.5×1010       B   3.5×109

 

　　C  3.5×108         D   3.5×107

 

　　題型五  數(shù)軸

 

　　6、如圖所示，數(shù)軸上的A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)分別為a、b、c，根據(jù)圖中各點(diǎn)位置，下列各式正確的是（）

 

　　A  （a-1）（b-1）＞0    B  （b-1）（c-1）＞0

 

　　C（a+1）（b+1）＜0    D （b+1）（c+1）＜0

 

 

　　分析：根據(jù)題意得C＜-1＜0＜a＜1＜b，所以（a-1）（b-1）＜0，（b-1）（c-1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（b+1）（c+1）＜0

 

　　答案：D

 

　　題型六  實(shí)數(shù)的運(yùn)算

 

　　7、計(jì)算（√2016+1）0+（-1/3）-1-|√2-2|-2sin45°

 

　　解  （√2016+1）0+（-1/3）-1-|√2-2|-2sin45°

 

　　=1+（-3）+√2-2-√2=-4