因式分解
1. 因式分解的概念：
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。
2. 因式分解與整式乘法的關(guān)系
因式分解與整式乘法都是整式變形，兩者互為逆變形。因式分解是將“和差”的形式化為“積”的形式，而整式乘法是將“積”化為“和差”的形式。
注：分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式的因式都不能再分解為止，即分解因式要徹底。
3. 公因式
多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。
系數(shù)——取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；
字母——取各項(xiàng)都含有的字母；
指數(shù)——取相同字母的最低次冪。
例如：多項(xiàng)式 pa+pb+pc 中因式 p 即為多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。
因式分解的方法
一、運(yùn)用公式法
我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來就是把多項(xiàng)式分解因式。于是有：
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
a2 - 2ab + b2 = (a-b)2
如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。
1. 平方差公式
兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。這個(gè)公式就是平方差公式，即 a2 - b2 = (a+b)(a-b)
2. 完全平方公式
兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或者差）的平方。即 a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 ；a2 - 2ab + b2 = (a-b)2
注意：
① 項(xiàng)數(shù)為三項(xiàng)；有兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的的平方和，這兩項(xiàng)的符號(hào)相同；有一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍。
② 當(dāng)多項(xiàng)式中有公因式時(shí)，應(yīng)該先提出公因式，再用公式分解。
③ 完全平方公式中的a、b可表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式。這里只要將多項(xiàng)式看成一個(gè)整體就可以了。
④ 分解因式，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。
二、因式分解
1. 因式分解時(shí)，各項(xiàng)如果有公因式先提公因式，然后再進(jìn)一步分解。
2. 因式分解，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式不能再分解為止。
三、分組分解法
如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提取公因式后它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來分解因式。
例如 am+an+bm+bn，這四項(xiàng)中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
但如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式。
所以原式= (am+an) + (bm+bn) = a(m+n) + b(m+n)。
再看，這兩項(xiàng)還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以原式
= (am+an)+(bm+bn) = a(m+n)+b(m+n) = (m+n)(a+b).
這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。
四、提公因式法
公式 x2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q) 的因式分解過程：
五、分式的乘除法
1. 把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
2. 分式進(jìn)行約分的目的是要把這個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式。
3. 如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式.如果分子或分母中的多項(xiàng)式不能分解因式，此時(shí)就不能把分子、分母中的某些項(xiàng)單獨(dú)約分。
4. 分式約分中注意正確運(yùn)用乘方的符號(hào)法則，如 x-y=-(y-x)， (x-y)2=(y-x)2， (x-y)3=-(y-x)3。
5. 分式的分子或分母帶符號(hào)的n次方，可按分式符號(hào)法則，變成整個(gè)分式的符號(hào)，然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負(fù)來處理。當(dāng)然，簡(jiǎn)單分式的分子分母可直接乘方.
6. 注意混合運(yùn)算中應(yīng)先算括號(hào)，再算乘方，然后乘除，最后算加減.
六、分?jǐn)?shù)的加減法
1、一般地，通分結(jié)果中，分母不展開而寫成連乘積的形式，分子則乘出來寫成多項(xiàng)式，為進(jìn)一步運(yùn)算作準(zhǔn)備。
2、通分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)。
3、通分的關(guān)鍵：確定幾個(gè)分式的公分母。通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。
4、類比分?jǐn)?shù)的通分得到分式的通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
5、同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。
6、異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p。
7、同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運(yùn)算，但注意每個(gè)分子是個(gè)整體，要適時(shí)添上括號(hào)。
8、對(duì)于整式和分式之間的加減運(yùn)算，則把整式看成一個(gè)整體，即看成是分母為1的分式，以便通分。
9、異分母分式的加減運(yùn)算，首先觀察每個(gè)公式是否最簡(jiǎn)分式，能約分的先約分，使分式簡(jiǎn)化，然后再通分，這樣可使運(yùn)算簡(jiǎn)化。
10、作為最后結(jié)果，如果是分式則應(yīng)該是最簡(jiǎn)分式。
七、含有字母系數(shù)的一元一次方程
引例：一數(shù)的a倍(a≠0)等于b，求這個(gè)數(shù)。用x表示這個(gè)數(shù)，根據(jù)題意，可得方程 ax=b(a≠0)
在這個(gè)方程中，x是未知數(shù)，a和b是用字母表示的已知數(shù)。對(duì)x來說，字母a是x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。這個(gè)方程就是一個(gè)含有字母系數(shù)的一元一次方程。含有字母系數(shù)的方程的解法與以前學(xué)過的只含有數(shù)字系數(shù)的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個(gè)式子的值不能等于零。
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