在準備講課訓練的時候提出了這個疑問，高中的知識中，例如兩點間距離完全可以用勾股定理求解，并且從學生的角度來說，把勾股定理套進直角坐標系，雖然過程不難但是感覺有點多此一舉，且除了解題外沒有現(xiàn)實意義。

目前我的理解是，勾股定理本質(zhì)上是兩條線與第三條線的關(guān)系，也就是線線關(guān)系，兩點間距離公式的本質(zhì)是兩點間的關(guān)系，也就是說如果從點和線的角度看，兩者討論的問題并不一樣，而如果要討論兩點距離，不用尺子測量的話，就不能不使用直角坐標系，再把勾股定理套進直角坐標系。

我覺得最難向?qū)W生解釋的就是為什么一定要套進直角坐標系，實際上當同學們看到一個點的時候，無論是在課本還是在試卷上，這個點就有了一個坐標，所以在很多同學的潛意識里，這個點已經(jīng)自帶了直角坐標系，但是他們忘記了當點獨立存在于平面或空間的時候是不存在大小體積和長度的，更不用說用坐標來描述，也就是說這個點如果不是在某條線(面)上，這個點是不存在也無法描述的，這里指的是不能從數(shù)學角度向高中生描述。

所以直角坐標系和數(shù)軸最大的意義在高中我覺得就是解釋了點的意義，描述了點這個問題，使得老師可以通過坐標描述一個點，學生可以通過坐標在平面上直觀地表現(xiàn)這個點。從數(shù)形結(jié)合的角度來說，也量化了一條直線，否則直線之間也沒有了區(qū)別，通過直角坐標系斜率等等，約束了不同的直線，從而把他們用同一個標準統(tǒng)一描述出來。

當點和直線存在于同一個體系里，可以用數(shù)字去量化，就具備了計算的意義，而不是用尺子量，于是出現(xiàn)了各種方程和公式。

回到兩點間距離公式這個問題，如果隨便給出兩個點，我只用尺子測量距離，這個距離當然準確，但是如果又給出了一條直線，點到直線的距離用尺子不好測量，但是我們賦予一個直角坐標系，把距離這條線的長度變成了一個可計算的數(shù)字，此時使用準備好的公式去計算，這個長度就是準確的，沒有測量誤差的，從我感覺到的數(shù)學來說，這樣才符合數(shù)學的精準。

同時也可以看到直角坐標系是沒有單位的，也就是說它是一個統(tǒng)一標準的工具，那么不論你的單位是什么，只要可以寫成方程，可以寫成坐標，就可以放進直角坐標系里討論一些相關(guān)的聯(lián)系，這也使方程具備了幾何意義，可以通過畫圖來觀察。

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