三角形、四邊形、多邊形

6、三角形的內(nèi)角和、外角、中線、中位線、高

①三角形三個(gè)角平分線交于一點(diǎn)：內(nèi)心(該點(diǎn)到三角形三邊距離相等)

②三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)：外心(該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等)

③三角形中線相交于一點(diǎn)：重心(這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍)

④三角形三條高交于一點(diǎn)：垂心

7、三角形兩邊之和大于弟三邊，兩邊之差小于弟三邊

8、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，大于和它不相鄰的恣意內(nèi)角。

9、三角形的判定：①邊角邊(SAS) ②角邊角(ASA) ③邊邊邊(SSS) ④斜邊直角邊公理(HL)

10、角平分線

定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

定理2：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

11、等腰三角形：

⑴性質(zhì)定理：等邊對(duì)等角(兩底角相等)

①推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊且垂直底邊。

(三線合一)

②推論2：等邊三角形各角相等，均為600

⑵判定定理：兩底角相等的三角形是等腰三角形

⑶在Rt△中，300角所對(duì)的邊是斜邊的一半

①在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半

②過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于弟二邊的直線必過(guò)弟三邊中點(diǎn)

12、勾股定理;a2+b2=c2(此定理可逆，適合此條件的是直角三角形)

13、圖形的平移：

⑴概念：圖形沿著一定的方向平行移動(dòng)。圖形的平移由移動(dòng)的方向和距離決定。

⑵平移是物體、圖形的平行移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體、圖形的形狀、大小都不會(huì)發(fā)生改變。

⑶平移的特征：

①平移后，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)沿著同一方向移動(dòng)同一距離。

②平移后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等。

③平移后，對(duì)應(yīng)角相等。

④平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相互平行或在同一條直線上

14、幾何證明初步

⑴定義：用來(lái)說(shuō)明一個(gè)名詞的語(yǔ)句。定義一方面可以作為性質(zhì)使用，另一方面又可以作為判定的方法。

例：說(shuō)出下列名詞的定義：①兩點(diǎn)之間的距離，②全等三角形，③一元一次方程，④兩條平行線間的距離

⑵命題：

①定義：判斷一件事情的句子叫命題。

②判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題要抓住兩條：命題通常是一個(gè)陳述句，包括肯定句和否定句，而疑問(wèn)句和命令性語(yǔ)句都不是命題;必須對(duì)某件事情做出肯定或否定的判斷，二者必居其一。

③命題的組成：由題設(shè)、結(jié)論組成。模式：如果……那么……

④真命題、假命題：(略)要判斷一個(gè)命題是真命題，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式，也可通過(guò)推理的方式;要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉一反例即可。

⑶互逆命題：

㈠如果弟一個(gè)命題的題設(shè)是弟二個(gè)命題的結(jié)論，弟一個(gè)命題的結(jié)論是弟二個(gè)命題的題設(shè)，這兩個(gè)命題叫互逆命題。(其中一個(gè)叫原命題，另一個(gè)叫逆命題)

㈡任何一個(gè)命題都有它的逆命題，但逆命題不一定是真命題。

⑷互逆定理：

㈠一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，一個(gè)叫另一個(gè)的逆定理。

㈡從逆定理定義上不難看出，逆定理一定是真命題。

⑸公理和定理

①公理：

㈠作為判定其他命題真假的根據(jù)的真命題叫做公理。即有些真命題是通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐總結(jié)出來(lái)，被大家所公認(rèn)，并且作為證實(shí)其他命題的起始依據(jù)，這樣的真命題叫公理

⑵耙們學(xué)過(guò)的公理，如：兩點(diǎn)確定一條直線;平行公理;兩直線平行同位角相等;同位角相等，兩直線平行;ASA SAS SSS ;全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等等

②定理：

㈠其正確性是用推理證實(shí)的真命題叫定理。即我們把由已知條件、定義、公理或已經(jīng)證實(shí)了的真命題出發(fā)，通過(guò)推理的方法得到證實(shí)的真命題叫公理。

㈡定理可作為判定其他命題真假的依據(jù);

⑹證明：命題的真實(shí)性都需要通過(guò)推理的方法證實(shí)，推理的過(guò)程叫證明。

15、圖形的旋轉(zhuǎn)：

⑴旋轉(zhuǎn)：如果平面內(nèi)的點(diǎn)繞著某點(diǎn)O按順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這種點(diǎn)的移動(dòng)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O就是旋轉(zhuǎn)中心。

⑵圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度所決定。

⑶旋轉(zhuǎn)角：和旋轉(zhuǎn)中心相連的對(duì)應(yīng)線段的夾角。

⑷旋轉(zhuǎn)中心是旋轉(zhuǎn)變換的唯一不動(dòng)點(diǎn)，反之，若有一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)中保持不變，則必為旋轉(zhuǎn)中心

⑸圖形旋轉(zhuǎn)的特征：圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)線段相等;對(duì)應(yīng)角相等;圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生改變。

⑹作旋轉(zhuǎn)后的圖形，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，利用圖形旋轉(zhuǎn)的特征來(lái)作。

⑺旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形：

①圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后，能與自身重合，這樣的圖形稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形。

②注意旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形與旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的聯(lián)系和區(qū)別：前者就一個(gè)圖形而言，后者就兩個(gè)圖形而言。

⑻中心對(duì)稱(chēng)：

①中心對(duì)稱(chēng)：將一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800后，與另一個(gè)圖形重合，我們稱(chēng)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。這個(gè)點(diǎn)叫對(duì)稱(chēng)中心。

②中心對(duì)稱(chēng)圖形：將一個(gè)圖形繞著中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800后能與自身重合，我們把這種圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形。這個(gè)中心點(diǎn)叫對(duì)稱(chēng)中心。

③中心對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系;而中心對(duì)稱(chēng)圖形指的是一種具有特殊性質(zhì)的圖形。

④中心對(duì)稱(chēng)圖形是特殊的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形。

⑤中心對(duì)稱(chēng)的特征：在成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分。

⑥中心對(duì)稱(chēng)的識(shí)別：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且都被該點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形一定關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。

⑼、㈠定理 ：①關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形

②關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線都通過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分

㈡逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

16、四邊形

⑴凸多邊形內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于(n-2)×1800

⑵恣意凸多邊形外角和定理：均為3600

⑶從凸n邊形一個(gè)角引的對(duì)角線條數(shù)：n-3

⑷凸n邊形對(duì)角線總條數(shù)：n(n-3)/2

⑸平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)(每三點(diǎn)不共線)，最多能確定的直線的條數(shù)：n(n-1)÷2

能確定的圓的個(gè)數(shù)：n(n-1)(n-2) ÷6

17、平行四邊形定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

18、平行四邊形性質(zhì)：

①平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱(chēng)中心。

②平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。

③平行四邊形對(duì)角線互相平分。

④平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)。

19、兩條平行線間的距離

⑴定義：兩條平行線中，一條直線上恣意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離。

⑵兩平行線間的距離處處相等

20、平行四邊形的判定：

①兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

④一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

⑤兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

21、矩形：

⑴定義：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形

⑵性質(zhì)：

⒆肋有平行四邊形的一切性質(zhì)，

②四角是直角，

③對(duì)角線相等

④矩形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形(有兩條對(duì)稱(chēng)軸)

22、菱形：

⑴定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形

⑵菱形的性質(zhì)：

⒆肋有平行四邊形的一切性質(zhì)，

②四條邊相等，

③對(duì)角線相互垂直、每一條對(duì)角線平分一組內(nèi)對(duì)角

④菱形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形

⑶菱形的面積計(jì)算：底×高 或者：兩條對(duì)角線乘積的一半

23、正方形：

⑴定義：①有一個(gè)角是直角的菱形

②有一組鄰邊相等的矩形

⑵性質(zhì)：

⒆肋有平行四邊形的性質(zhì)，

②邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行。

③角：四角是直角，

④對(duì)角線：相等、相互垂直平分、每條對(duì)角線平分一組內(nèi)角

⑤是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸;又是中心對(duì)稱(chēng)圖形

⑺梯形：①定義：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形

②等腰梯形性質(zhì)定理：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

③等腰梯形判定：同一底上兩角相等的是等腰梯形

④平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等

推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰

推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分弟三邊。

①三角形中位線定理：平行弟三邊且等于弟三邊的一半

②梯形中位線定理：梯形的中位線平行兩底且等于兩底和的一半

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