反比例函數(shù)在初中數(shù)學(xué)的函數(shù)學(xué)習(xí)中，占據(jù)著較為重要的位置。下面我們來梳理一下有關(guān)反比例函數(shù)的知識:

反比例函數(shù)的基本內(nèi)容

定義:

如果兩個變量x，y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成y=k/x(k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。函數(shù)表達式為：

◆ y=k/x

◆ y=kxˉ1

◆ xy=k

注意：反比例函數(shù)成立的條件是：k為常數(shù)且k≠0。該條件同時成立，同學(xué)在解題過程中往往容易忽視其成立條件，從而在取值范圍的確定中易出錯。

函數(shù)的增減性:

當(dāng)k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;

當(dāng)k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大。

性質(zhì)：

(1)反比例函數(shù)上任何一點與軸線圍城的直角三角形面積都相等|k|/2;

(2)圖像上任意兩點與原點構(gòu)成的三角形的面積等于直角梯形的面積;

(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交時，存在線段相等的關(guān)系，坐標點關(guān)于原點對稱的關(guān)系;

(4)反比例與一次函數(shù)有交點時，可以聯(lián)立求出交點坐標(二次聯(lián)立可以求一元二次方程，反映方程根的個數(shù)問題)。

反比例函數(shù)常考題型

結(jié)合近幾年的考情分析，反比例函數(shù)往往出現(xiàn)在填空題和解答題中，其出題類型一般與一次函數(shù)、三角函數(shù)、相似、全等、圓等相結(jié)合，成為學(xué)生的“一大障礙”，但是其單獨出題時，相對簡單。

判斷函數(shù)圖像

① 看系數(shù)：一次函數(shù)只有一個未知數(shù)a;

注意：若一次函數(shù)的一次項系數(shù)與反比例函數(shù)的反比例系數(shù)正負相同，直線與雙曲的兩支都有交點。

② 找矛盾：通常需要運用排除法，排除錯誤選項得到正確答案。反比例函數(shù)只有一個未知數(shù)，因此常從反比例函數(shù)的圖象入手進行判斷。如果a>0，反比例函數(shù)圖像在第一、三象限，如果a<0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限。

注意：當(dāng)反比例函數(shù)與其他函數(shù)相結(jié)合出題時，需要再判斷其他函數(shù)圖象經(jīng)過的象限就可確定其函數(shù)圖像。

求解析式一般需要求出函數(shù)圖象上的點的坐標，函數(shù)解析式上有幾個未知數(shù)，就要找?guī)讉�點。

函數(shù)圖像繪制步驟：列表---描點---連線

(1)列表取值時，x≠0，因為x=0函數(shù)無意義，為了使描出的點具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值。

(2)由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，盡量多取一些數(shù)值，多描一些點，從而便于連線，使畫出的圖象更精確。

(3)連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線。

因為解析式中，x不能為0，所以y也不能為0，反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，但隨著x無限增大或是無限減少，函數(shù)值無限趨近于0，故圖像無限接近于x軸。

涉及交點情況

■ 找交點及交點個數(shù)：已知交點的某一橫坐標，代入即可求出其縱坐標，反之亦然;當(dāng)要求交點坐標時，將反比例函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立方程組，進行求解;

■ 求解交點個數(shù)：將一次函數(shù)和反比例函數(shù)聯(lián)立方程組的解的個數(shù)就是交點個數(shù)。

■ 求解析式：求解析式一般需要函數(shù)圖像上的點的坐標，函數(shù)圖像上有幾個未知數(shù)，一般需要找?guī)讉�點。反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用中，通常尋找交點的坐標，從而得出解析式并分別求得解析式中的常數(shù)值。

涉及面積的運用

坐標系中的圖形面積問題最基本的圖形為三角形，解答核心是要把點坐標轉(zhuǎn)化為線段長度。

▼ 若三角形有一邊在坐標軸上，通常以這條邊作為三角形的底邊。

▼ 三邊都不在坐標軸上，需要對圖形進行割補。

▼ 在前文性質(zhì)1和2中，我們提到有關(guān)反比例函數(shù)面積的性質(zhì)，此外，我們需要了解的是有關(guān)反比例函數(shù)y=k/x(k為常數(shù)且k≠0)中|k|的幾何意義：過雙曲線上任意一點引x軸、y軸的垂線，所得的矩形面積為|k|。

▼ 如果題目中給出線段比例和四邊形的面積求k問題，利用同底等高三角形面積與高之間的關(guān)系，以及面積與k之間的關(guān)系，求出k。

注意：反比例函數(shù)圖象是一種特殊的圖形，它的兩個分支既關(guān)于原點對稱，又關(guān)于直線Y=X、Y=-X對稱，因此我們做題時要充分利用反比例函數(shù)的對稱性來解題。

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