不等式的整數(shù)解問題

例

已知不等式 3x-a<5(x+2) 的負(fù)整數(shù)解有且只有4個(gè)，則a的取值范圍是______

分析

本題與第八講的例題類似，其實(shí)只是多了一步先用a的代數(shù)式來表示x的解集，再根據(jù)負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，初步確定用含參數(shù)a表示的代數(shù)式的范圍是哪兩個(gè)相鄰整數(shù)，并最終確定哪邊取等號(hào).

例

分析

本題是不等式組的整數(shù)解問題，而且并沒有告訴我們是那些整數(shù)，甚至連是幾個(gè)整數(shù)都沒有提，是不是沒法做了呢，考慮到第二個(gè)不等式可解，其實(shí)就能依據(jù)它來決定是哪幾個(gè).

解答

由①得，x

由②得，x≥1

∴不等式組解集為1≤x

根據(jù)整數(shù)解和為10，

則應(yīng)為1，2，3，4

則4

附：本章經(jīng)典難題2例

分析

本題與第十講例3對(duì)于x>1的一切有理數(shù)，不等式x-a>2a都成立，則a______.類似，表面看上去是不等式問題，實(shí)際則考察不等式組，我們要厘清題意，什么叫某個(gè)不等式的所有解都是另一個(gè)不等式的解，這其實(shí)就是不等式組口訣中的“同大取大”，或者“同小取小”.另外.需要注意的是，這里所說的a為何值，到底是不是一個(gè)值呢?還是求范圍?這需要我們?cè)俅闻袛?

借助數(shù)軸動(dòng)態(tài)圖分析，我們發(fā)現(xiàn)，這里要用口訣“同大取大”，則a確定是一個(gè)范圍，但到底臨界點(diǎn)哪個(gè)更大?

反思：

通過這道題，你應(yīng)該感受到數(shù)學(xué)題中，理解題意的重要性，在考慮不等式組同大取大，同小取小時(shí)，一定還要看看臨界點(diǎn)能否取等號(hào)?現(xiàn)在，你能否根據(jù)這道題，不去回看之前的解答，再來重新做一遍呢?

分析

這道題是將方程組，與不等式組綜合的題目，首先，又是三未知數(shù)，兩方程問題，則必然要用含某個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另兩個(gè)未知數(shù).根據(jù)三個(gè)未知數(shù)均為非負(fù)數(shù)，確定x的范圍，最后的W的最值問題，又與方案優(yōu)選問題類似，本題的解答思路分析，具體可以回看《第11講》和《第6講》.

解答

①+②×2得，5x-5y=5，y=x-1

①×3+②得，5x+5z=10，z=-x+2

根據(jù)x，y，z為非負(fù)數(shù)，

∴x≥0，x-1≥0，-x+2≥0，

∴1≤x≤2

W=3x+y+z=3x+1

∵3>0，

∴W隨x增大而增大

∴當(dāng)x=2時(shí)，

Wmax=7

附：練習(xí)及答案

解答：

1.由①得，x>3，由②得，x>m，

解集為x>3，同大取大，m≤3，

2.由①得，x≥-a，由②得，x<1

則-a<1，a>-1

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