第二章：代數式

一、代數式

1、代數式：

用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫代數式。單獨一個數或者一個字母也是代數式。

2、代數式的值：

用數值代替代數里的字母，計算后得到的結果叫做代數式的值。

3、代數式的分類：

二、整式的有關概念及運算

1、概念

(1)單項式：像x、7、2x2y，這種數與字母的積叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。

單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數叫做這個單項式的次數。

單項式的系數：單項式中的數字因數叫單項式的系數。

(2)多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。

多項式的次數：多項式里，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。不含字母的項叫常數項。

2、運算

升(降)冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從小(大)到大(小)的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升(降)冪排列。(3)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。(1)整式的加減：合并同類項：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母及字母的指數不變。去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變;括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里的各項都變號。添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變;括號前面是“-”號，括到括號里的各項都變號。整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項。(2)整式的乘除：冪的運算法則：其中m、n都是正整數。同底數冪相乘：am·an=am+n;同底數冪相除：am÷an=am-n;冪的乘方：(am)n=amn;積的乘方：(ab)n=anbn。單項式乘以單項式：用它們系數的積作為積的系數，對于相同的字母，用它們的指數的和作為這個字母的指數;對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。單項式除單項式：把系數，同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數作為商的一個因式。多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2。

三、因式分解

1、因式分解概念：

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：

ma+mb+mc=m(a+b+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：

a2-b2=(a+b)(a-b);

完全平方公式：

a2±2ab+b2=(a±b)2

(3)十字相乘法：

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。

(5)運用求根公式法：

若ax2+br+c=0(a≠0)的兩個根是x1、x2，則有：

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式;

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法;

(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

1、分式定義：

形如A/B的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

(1)分式無意義：B=0時，分式無意義;B≠0時，分式有意義。

(2)分式的值為0：A=0，B≠0時，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運算的最終結果若是分式，一定要化為最簡分式。

(5)通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。

(6)最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。

(7)有理式：整式和分式統稱有理式。

2、分式的基本性質：

(1)A/B=A·M/B·M

(M是≠0的整式);

(2)A/B=A÷M/A÷M

(M是≠0的整式)

3、分式的運算：

(3)分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。(1)加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減;異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。(2)乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。(3)除：除以一個分式等于乘上它的倒數式。(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：

式子√a(a≥0)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式(常用的有理化因式有：√ā與√a，a√b+c√a與a√b-c√a)

2、二次根式的性質：

(1)(√a)2=a(a≥0)

(2)√a2=∣a∣(a≥0)a≥0時，√a2=a

a<0時，√a2=-a

(3)√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)(4)√a/b=√a/√b(a≥0，b>0)

3、運算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。(2)二次根式的乘法：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)(3)二次根式的除法：√a/√b=√a/b(a≥0，b>0)

二次根式運算的最終結果如果是根式，要化成最簡二次根式。

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