中考數學大題題型剖析

　　操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q。探究：設A、P兩點間的距離為x。

　　(1)當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論；

　　(2)當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的定義域；

　　(3)當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x的值；如果不可能，試說明理由。

　　分析：第(1)小題是帶有幾何圖形的探索性試題。不妨用尺量一下。可知PQ=PB。一旦把PQ=PB這個結論確定下來，就可以用三角形全等的方法證明這個結論。

　　第(2)小題，由第(1)小題的結論可推得AM=MP=QN=DN=x，BM=PN=CN=1-√2x。然后分別計算出△PBC和△CPQ的面積，四邊形PBCQ的面積就等于這兩個三角形的面積和，可得y=x2-√2)。

　　第(3)小題又是一道帶有幾何圖形的探索性試題。如果△PCQ成為等腰三角形的話，P點也只能在某些位置時，才能使△PCQ成為等腰三角形，或者無法使△PCQ成為等腰三角形。無論“是”或“不是”要通過計算才能確定。通過計算可知，當x=0(即點P與點A重合)或x=1時，△PCQ是等腰三角形。

　　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

　　①求證：△ABP∽△DPC；②求AP的長。

　　(2)如果點P在AD邊上移動(點P與點A、D不重合)，且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么①當點Q在線段DC的延長線上時，設AP=x，CQ=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；②當CE=1時，寫出AP的長(不必寫出解題過程)。

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